Monty Hall Problem主要描述了这样一个场景:假设你参加一个电视节目,有三扇门,其中一扇门之后是一台豪华轿车,其他两扇门之后分别是一头山羊,但是你并不知道汽车在哪扇门之后。首先你随机选择一扇门(假设为a),然后由主持人(知道所有门后的情况)从另外两扇门中打开一扇后面是山羊的门(假设为c),现在只剩下两扇门了(a和b),问你的选择是否改变(选择b)?

其实这就是一个概率的问题,我们可以做一下简单的计算:

首先我们需要假设两个基本事件,\(A=\)"你最终赢得大奖",\(B=\)"第一次的选择是正确的".

现在分两种情况来计算其概率:

  1. 选择不换。那么当初你是从三个门中选择一个的,所以\(Pr[A] = \frac{1}{3}\)

  2. 选择换,在这种情况下,可以利用全概率法则对\(Pr[A]\)进行展开:

$$ \begin{equation} Pr[A] = Pr[A\vert B]Pr[B] + Pr[A\vert \bar{B}]Pr[\bar{B}] = 0 + \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \end{equation} $$

因为在选择交换的情况下,\(Pr[A\vert B]=0\),所以上式中的第一项就是\(0\),同样的,当初是在两扇门之间进行选择,所以\(Pr[\bar{B}]=\frac{2}{3}\),而\(Pr[A\vert\bar{B}]=1\),所以第二项为\(\frac{2}{3}\)

这个结果也许有一些反直觉,但事实就这样,选择换得奖的概率要比不换大,这正是数学的神奇之处~

Share on: TwitterFacebookEmail


Flyaway is the owner of this blog.

Published

Category

randomized-algorithm

Tags

Contact