Continoal Expectation

条件期望是指，在给定条件的情况下，随机变量的期望值.条件期望可以表示成:

$$ E[Y\vert X=a] $$

我们可以将条件期望看成是关于$X$的随即变量$f(X)$

假设$X,Y,Z$是三个任意的随机变量，$f,g$是任意的函数，则对于条件期望有如下的结论:

$E[X]=E\big[E[X\vert Y] \big]$.
$E[X\vert Z]=E\big[E[X\vert Y,Z]\vert Z \big]$
$E\big[E[f(X)g(X,Y)\vert X]\big]=E\big[f(X)\cdot E[g(X,Y)\vert X]\big]$(条件于$X$,因此可以将$f(X)$看成是一个常数，根据期望的线性可加性，就能够把$f(X)$提出来了)

Martingales

Martingales描述的是一系列的随机变量，该序列的当前的随机变量依赖之前所有的历史随机变量¹，如果当前的随机变量的期望不发生变化，则这整个随机过程就被称为是Martingales.

定义: Martingale

一个随机变量序列$X_0,\cdots,X_{i-1}$是一个Martingale当且仅当对于所有的$i>0$，都有:

$$E[X_i \vert X_0,\cdots,X_{i-1}] = X_{i-1} $$

举例

假设我们投掷一个均匀的硬币，令$Z_j\in \{-1,1\}$表示第$j$次投掷的结果，令$X_0=0$和$X_i=\sum\limits_{j\le i}Z_j$，则随机变量$X_0,X_1,\cdots$定义了一个Martingale.

证明:

$$ \begin{aligned} E[X_i\vert X_0,\cdots,X_{i-1}] &= E[X_i\vert X_{i-1}] \\ &= E[X_{i-1}+Z_i\vert X_{i-1}] \\ &= E[X_{i-1}\vert X_i] + E[Z_i\vert X_{i-1}] \\ &= X_{i-1} + E[Z_i\vert X_{i-1}]\\ &= X_{i-1} + E[Z_i] \\ &= X_{i-1} \end{aligned} $$

Generalizations

Martingale还有更加一般化的定义，它不再只是一个只关于自己的随机序列，而是关于另外一个随机序列。

定义 Generalized Martingale

一个随机变量序列$Z_0,Z_1,\cdots$是一个关于$X_0,X_1,\cdots$的Martingale，当且仅当对于任意的$i>0$，满足下述三个条件:

$Z_i$是$X_0,X_1,\cdots,X_{i}$的函数

$E[\vert Z_i \vert] = \infty$

$E[Z_{i+1}\vert X_0,X_1,\cdots,X_i] = Z_i$

因此，如果一个随机变量序列$X_0,X_1,\cdots$是关于自己的Martingale，那么它自身就是一个Martingale.

Azuma's Inequality

关于Martingale有一个比较重要的不等式，称为Azuma's inequality,描述如下:

Azuma's inequality

假设$X_0,X_1,\cdots$是一个Martingale，且对于所有的$k>1$，都有:

$$\vert X_k - X_{k-1} \vert \le c_k$$

则

$Pr[\vert X_n-X_0 \vert \ge t] \le 2exp\bigg(-\frac{t^2}{2\sum\limits_{k=1}^n c_k^2}\bigg)$.

需要注意的是，在这个不等式中，是没有独立性要求的。

其中$\vert X_k - X_{k-1}\vert \le c_k$的条件是整个不等式的核心，称为bounded difference condition.

该不等式描述的是，如果将$X_0,X_1,\cdots$看成是随时间变换的状态的话，那么如果每一步的状态转换都没有出现大的跳跃，那么该不等式就保证整个过程一直处于其初始点附近。

其中有一种特殊情况，当$c_k=c$的时候，不等式可以写成:

假设$X_0,X_1,\cdots$是一个Martingale，且对于所有的$k>1$，都有:

$$\vert X_k - X_{k-1} \vert \le c$$

则

$Pr[\vert X_n-X_0 \vert \ge ct\sqrt{n}] \le 2e^{-\frac{t^2}{2}}$

还有一般化的Azuma's Inequality:

Azuma's inequality(general version)

假设$Y_0,Y_1,\cdots$是关于$X_0,X_1,\cdots$的一个Martingale，且对于所有的$k>1$，都有:

$$\vert Y_k - Y_{k-1} \vert \le c_k$$

则

$Pr[\vert Y_n-Y_0 \vert \ge t] \le 2exp\bigg(-\frac{t^2}{2\sum\limits_{k=1}^n c_k^2}\bigg)$.

证明

Azuma's Inequality的证明过程和笔记5中证明Chernoff Bound的方法类似，先在Moment Generating Function 上使用Markov不等式,然后确定这个Moment Generating Function的上界，最终选取合适的参数。

在正式开始证明之前，我们先要证明一个引理:

引理

令$X$为一个随机变量满足$E[X]=0$且$\vert X\vert \le c$,则对于任何的$\lambda > 0$,有:

$E[e^{\lambda X}] \le e^{\lambda^2\frac{c^2}{2}}$

证明:

通过观察，我们可以看到函数$e^{\lambda X}$在定义域$[c,c]$上是一个凸函数，所以如果我们在点$(-c,e^{-\lambda c})$和$(c,e^{\lambda c})$画一条直线，则$e^{\lambda X}$的曲线必然在直线的下方。也即:

$$ e^{\lambda X} \le \frac{e^{\lambda c} + e^{-\lambda c}}{2} + \frac{X}{2c}(e^{\lambda c}-e^{-\lambda c}) $$

因为$E[X]=0$，因此:

$$ \begin{aligned} E[e^{\lambda X}] &\le E\bigg[\frac{e^{\lambda c} + e^{-\lambda c}}{2} + \frac{X}{2c}(e^{\lambda c}-e^{-\lambda c})\bigg] \\ &= \frac{e^{\lambda c} + e^{-\lambda c}}{2} + \frac{e^{\lambda c}-e^{-\lambda c}}{2c}E[X] \\ &= \frac{e^{\lambda c} + e^{-\lambda c}}{2} \\ &\le e^{\lambda^2\frac{c^2}{2}} \end{aligned} $$

上式中的最后一个不等式是根据泰勒展开式得到的。

$\Box$

现在开始正式证明Azuma's Inequality²:

偏移之和

令$Y_i = X_i - X_{i-1}$,则:

$$ \begin{aligned} E[Y_i\vert X_0,\cdots,X_{i-1}] &= E[X_i-X_{i-1}\vert X_0,\cdots,X_{i-1}] \\ &= E[X_i \vert X_0,\cdots,X_{i-1}] - E[X_{i-1}\vert X_0,\cdots,X_{i-1}] \\ &= X_{i-1} - X_{i-1} \\ &= 0 \end{aligned} $$

令$Z_n=\sum\limits_{i=1}^n Y_i$,则

$$ Z_n=(X_1-X_0) + (X_2-X_1) + \cdots +(X_n-X_{n-1}) = X_n-X_0 $$

现在我们就需要找出$Z_n$的上界。

应用Markov不等式

$$ \begin{aligned} Pr[Z_n \ge t] &= Pr[e^{\lambda Z_n}\ge e^{\lambda t}]\\ &\le \frac{E[e^{\lambda Z_n}]}{e^{\lambda t}} \end{aligned} $$

接下去就要寻找$E[e^{\lambda Z_n}]$的上界。

$$ \begin{aligned} E[e^{\lambda Z_n}] &= E\big[ E[e^{\lambda Z_n}\vert X_0,\cdots,X_{n-1}] \big] \\ &= E\big[ E[e^{\lambda (Z_{n-1}+Y_n)}\vert X_0,\cdots,X_{n-1}] \big] \\ &= E\big[ E[e^{\lambda Z_{n-1}} \cdot e^{\lambda Y_n}\vert X_0,\cdots,X_{n-1}] \big] \\ &= E\big[ e^{\lambda Z_{n-1}} \cdot E[ e^{\lambda Y_n}\vert X_0,\cdots,X_{n-1}] \big] \\ \end{aligned} $$

又因为

$$E[Y_n\vert X_0,\cdots,X_{n-1}] = 0$$

且

$$\vert Y_n \vert =\vert (X_n-X_{n-1}) \vert \le c_n$$

，所以直接套用之前证明的引理:

$$ E[e^{\lambda Y_n}\vert X_0,\cdots,X_{n-1}] \le e^{\lambda^2 \frac{c_n^2}{2}} $$

将其代回到$E[e^{\lambda Z_n}]$中:

$$ \begin{aligned} E[e^{\lambda Z_n}] &= E\big[ e^{\lambda Z_{n-1}} \cdot E[ e^{\lambda Y_n}\vert X_0,\cdots,X_{n-1}] \big] \\ &\le E[e^{\lambda Z_{n-1}} \cdot e^{\lambda^2 \frac{c_n^2}{2}} ] \\ &= e^{\lambda^2 \frac{c_n^2}{2}} \cdot E[e^{\lambda Z_{n-1}}] \\ \end{aligned} $$

将其递归展开:

$$ \begin{aligned} E[e^{\lambda}] &\le \prod\limits_{k=1}^n e^{\lambda^2 \frac{c_n^2}{2}} \\ &= \bigg( \lambda^2 \sum\limits_{k=1}^n \frac{c_k^2}{2} \bigg) \\ \end{aligned} $$

代回到Markov不等式中:

$$ \begin{aligned} Pr[Z_n \ge t] &= \frac{E[e^\lambda Z_n]}{e^{\lambda t}} \\ &\le exp\bigg(\lambda^2 \sum\limits_{k=1}^n \frac{c_k^2}{2} -\lambda t \bigg) \end{aligned} $$

选取合适的$\lambda$

令$\lambda = \frac{t}{\sum\limits_{k=1}^n c_k^2}$,则

$$ exp\bigg(\lambda^2 \sum\limits_{k=1}^n \frac{c_k^2}{2} -\lambda t \bigg) = exp\bigg(-\frac{t^2}{2\sum\limits_{k=1}^nc_k^2} \bigg) $$

所以:

$$ \begin{aligned} Pr[X_n - X_0 \ge t] &= Pr[Z_n \ge t] \\ &\le exp\bigg(\lambda^2\sum\limits_{k=1}^n \frac{c_k^2}{2}-\lambda t \bigg) \\ &= \bigg( -\frac{t^2}{2\sum\limits_{k=1}^n c_k^2} \bigg) \end{aligned} $$

$\Box$

The Doob martingales

在Martingale中，有一类的Martingale比较重要，称为Doob Martingale.

首先，我们先定义Doob Sequence,其定义如下:

定义: Doob Sequence

函数f关于随机变量$X_1,X_2,\cdots$的Doob Sequence定义如下:

$Y_i = E[f(X_1,\cdots,X_n) \vert X_1,\cdots,X_i], 0 \le i \le n$

特别地，$Y_0=E[f(X_1,\cdots,X_n)]$且$Y_n=f(X_1,\cdots,X_n)$

一个函数的Doob Sequence定义了一个Martingale,也就是说:

$$ E[Y_i\vert X_1,\cdots,X_{i-1}] = Y_{i-1} $$

证明:

$$ \begin{aligned} E[Y_i\vert X_1,\cdots,X_{i-1}] &= E\big[ E[f(X_1,\cdots,X_n) \vert X_1,\cdots,X_i] \vert X_1,\cdots,X_{i-1} \big] \\ &= E[f(X_1,\cdots,X_n)\vert X_1,\cdots,X_{i-1}] \\ &= Y_{i-1} \end{aligned} $$

$\Box$

Doob Martingale是一个估计函数值的随机过程，对于关于随机变量$X_1,\cdots,X_n$的函数$f(X_1,\cdots,X_n)$，$Y_0,Y_1,\cdots,Y_n$表示对函数值的一个估计，$Y_i$表示，当已知$X_1,\cdots,X_i$时，函数值$f(X_1,\cdots,X_n)$的期望, 即$Y_i=E[f(X_1,\cdots,X_n)\vert X_1,\cdots,X_i]$.因此，$Y_0$表示在$X_1,\cdots,X_n$全都未知的情况下，$f(X_1,\cdots,X_n)$的期望,即$Y_0=E[f(X_1,\cdots,X_n)]$;而$Y_n$表示在$X_1,\cdots,X_n$全部已知的情况下，$f(X_1,\cdots,X_n)$的期望，也就是其在自身的函数值，也即$Y_n=f(X_1,\cdots,X_n)$.

举例

Edge Exposure Martingale

令$G$表示一个有$n$个点的随机图，$f$为一个这个随机图的一个函数，这个函数可以是随机图的任意的性质，比如染色数、包含三角的数目等等。令$e_1,e_2,\cdots,e_m,m=\binom{n}{2}$表示图中所有可能出现的边，令:

$$ X_i=\begin{cases} 1\quad if e_i\in G\\ 0\quad otherwise \end{cases} $$

定义$Y_i=E[f(G)\vert X_1,X_2,\cdots,X_i]$，则$Y_0,Y_1,\cdots,Y_n$形成了一个Doob Martingale，通常称为edge exposure martingale.

Vertex Exposure Martingale

在edge exposure martingale中我们是不断暴露出边，其实我们也可以不断暴露点，假设随机图的点集为$[n]$，则令$X_i$表示由点集$[i]$组成的子图.令$Y_i=E[f(G)\vert X_1,\cdots,X_i]$.则$Y_0,Y_1,\cdots,Y_n$也定义了一个Doob Martingale,通常称为vertex exposure martingale.

Chromatic number

定理

令$G\sim G(n,p)$，且$\chi(G)$表示图$G$的染色数，则

$Pr[\vert \chi(G) - E[\chi(G)] \vert \ge t\sqrt{n}] \le 2e^{-\frac{t^2}{2}}$

证明:

考虑图G的vertex exposure martingale,$Y_i=E[\chi(G)\vert X_1,\cdots,X_i]$.

可以想像，每当我们暴露出一个点的时候，我们总可以用一种新的颜色去染色，也就是说它满足bounded difference condition：

$$ \vert Y_i - Y_{i-1} \vert \le 1 $$

因此，我们对$Y_0,\cdots,Y_n$直接套用Azuma's Inequality，就得到了上述的结论。

$\Box$

Hoeffding's Inequality

Hoeffding's Inequality

令$X=\sum\limits_{i=1}^n X_i$,其中$X_1,\cdots,X_n$是独立的随机变量，且$a_i\le X_i\le b_i$,对于所有的$1\le i\le n$，令$\mu=E[X]$，则:

{% math %}Pr[\vert X-\mu \vert\ge t]\le 2exp\bigg( -\frac{2}{2\sum\limits_{i=1}^n(b_i-a_i)^2} \bigg){% endmath %}

证明:

定义Doob Sequence:$Y_i=E\bigg[ \sum\limits_{j=1}^n X_j\big\vert X_1,\cdots,X_i\bigg]$，很明显我们有$Y_0=\mu$且$Y_n=X$.

同时，$\vert Y_i-Y_{i-1} \vert\le b_i-a_i$，所以，使用一般化的Azuma's Inequality，就能得到上述结论。

$\Box$

Stoppinng Times

在Martingale中，还有另外一种问题，称为Stoppinng Times，比如在赌博的时候，令$Z_i$表示玩家在第i局之后的赢钱数，很显然$Z_1,Z_2,\cdots$形成了一个Martingale，如果玩家决定在第$k$³局之后就退出赌局，那么这个玩家期望的赢钱数是多少？

首先介绍一个引理:

引理

假设$Z_0,Z_1,\cdots,Z_n$是关于$X_0,X_1,\cdots,X_n$的一个Martingale,则

$$ E[Z_n] = E[Z_0] $$

证明:

根据Martingale的定义，我们有:

$$ E[Z_{i+1}\vert X_0,\cdots,X_i] = Z_i $$

两边同时取期望，得到:

$$ E\big[E[Z_{i+1} \vert X_0,\cdots,X_n]\big] = E[Z_{i+1}] = E[Z_i] $$

不断重复上述过程，就能够得到:

$$ E[Z_n] = E[Z_0] $$

$\Box$

有了上述的引理，我们就能说，如果在赌局开始之前就确定玩的轮数的话，那么期望的盈利就是0.

当然，一般在真实的场景中，情况要复杂得多，比如停止轮数是由当前的盈利状况来决定的。为了分析这种情况，我们需要引入Stoppinng Time的定义:

Stoppinng Time

令$\{Z_n,n\ge 0\}$为一个随机变量序列，$T$为一个非负的整数随机变量，如果事件$T=n$只依赖于$Z_0,Z_1,\cdots,Z_n$，则$T$就是$\{Z_n,n\ge 0\}$的一个Stoppinng Time.

结合上面关于Martingale的引理，如果赌局是公平的话，那么$E[X_T]=E[X_0]=0$一直成立。但是，如果Stoppinng Time $T$定义成第一次$Z_i>B$,其中$B$是一个固定的常量，则此时期望的盈利应该是大于$0$的，然而此时的Stoppinng Time未必是有限的。

Martingale Stoppinng Theorem

如果$Z_0,Z_1,\cdots$是关于$X_0,X_1,\cdots$的Martingale，且$T$是$X_1,X_2,\cdots$的一个Stoppinng Time，则:

当如下三个条件中的任意一个满足时:

$Z_i$是有界的，即存在一个常数$c$，使得对任意的$i$，都有$\vert Z_i\vert\le c$

$T$是有界的

$E[T] < \infty$且存在一个常数$c$使得$E[\vert Z_{i+1}-Z_i\vert \big\vert X_1,\cdots,X_i]<c$

等式

$$E[Z_T] = E[Z_0]$$

成立

举例

考虑一个独立且公平的赌局，在每一轮的赌局中，玩家分别以$\frac{1}{2}$的概率赢得1元或输掉1元.令$X_i$表示第i轮所赢的数目,$Z_i$表示第i轮之后一共赢得的数目，其中$Z_0=0$,假设玩家第一次输掉$l_1$元或赢得$l_2$元时退出赌局，那么请问玩家在输掉$l_1$元之前赢得$l_2$元的概率是多少?⁴

分析:

令$T$表示玩家第一次输掉$l_1$元或赢得$l_2$元时的轮数，则$T$是$X_1,X_2,\cdots$的一个Stoppinng Time.而$Z_0,Z_1,\cdots$则是个Martingale.因为$Z_i$是有界的，因此满足Martingale Stoppinng Theorem的条件，因此我们有:

$$ E[Z_T] = E[Z_0] = 0 $$

令$q$表示赢得$l_2$元的概率，则:

$$ E[Z_T] = l_2q - l_1(1-q) = 0 $$

我们可以得到:

$$ q = \frac{l_1}{l_1+l_2} $$

Wald's Equation

我们可以看到，在上述的Martingale Stoppinng Theorem中并没有要求随机变量必须是独立的，这体现出了Martingale的强大力量，但是如果随机变量是独立的，会发生什么呢？对于独立的随机变量的序列，我们有如下的定理:

Theorem: Wald's Equation

令$X_1,X_2,\cdots$是非负，独立同分布的随机变量序列，且这些随机变量都服从分布$X$.令$T$表示这个序列的一个Stoppinng Time。如果$T$和$X$的期望都是有界的，则:

$$ E\bigg[\sum\limits_{i=1}^T X \bigg] = E[T]E[X]$$

证明:

对于$i\ge 1$,令$Z_i=\sum\limits_{j=1}^i(X_j-E[X])$,则

$$ \begin{aligned} E\bigg[Z_{i+1}\vert X_1,X_2,\cdots,X_i\bigg] &= E\bigg[\sum\limits_{j=1}^i(X_j-E[X]) +X_{i+1}-E[X] \bigg \vert X_1,X_2,\cdots,X_i\bigg] \\ &= E\bigg[\sum\limits_{j=1}^i(X_j-E[X])\bigg\vert X_1,X_2,\cdots,X_i\bigg] + E\bigg[X_{i+1}-E[X]\bigg\vert X_1,X_2,\cdots,X_i\bigg] \\ &= \sum\limits_{j=1}^i(X_j-E[X]) + E[X_{i+1}-E[X]] \\ &= \sum\limits_{j=1}^i(X_j-E[X]) \\ &= Z_i \end{aligned} $$

所以，$Z_1,Z_2,\cdots$形成了一个关于$X_1,X_2,\cdots$的Martingale.又因为$E[T]<\infty$且:

$$ E[\vert Z_{i+1} - Z_i \vert \big\vert X_1,\cdots,X_i] = E[\vert X_{i+1} - E[X] \vert] \le 2E[X]. $$

因此，我们可以使用Martingale Stoppinng Theorem:

$$ E[Z_T] = E[Z_1] = 0 $$

因为，我们可以做如下计算:

$$ \begin{aligned} E[Z_T] &= E\bigg[\sum\limits_{j=1}^T(X_j-E[X]) \bigg] \\ &= E\bigg[\bigg(\sum\limits_{j=1}^T X_j\bigg) - TE[X] \bigg] \\ &= E\bigg[\sum\limits_{j=1}^T X_j\bigg] - E[T]E[X] \\ &= 0 \end{aligned} $$

即得到:

$$ E\bigg[\sum\limits_{j=1}^T\bigg] = E[T]\cdot E[X] $$

关于独立随机变量序列，还有另外一种Stoppinng Time的定义：

定义:

令$Z_0,Z_1,\cdots,Z_n$是一个独立的随机变量序列，$T$是一个非负的，整数随机变量，如果事件$T=n$独立于
$$Z_{n+1},Z_{n+2},\cdots$$
,则$T$是当前序列的一个Stoppinng Time

举例

假设一个玩家参加一个赌局，他首先抛掷一个标准的骰子，得到的点数为$X$，则第二次他同时抛掷$X$个标准的骰子，假设这$X$个骰子所有点数之和为$Z$,问$Z$的期望是多少?

分析:

对于$1\le i\le X$，令$Y_i$表示第$i$个骰子得到的点数，则$E[Z]=E\bigg[\sum\limits_{i=1}^X Y_i\bigg]$，根据上述的定义，$X$是一个Stoppinng Time,因此根据Wald's Equation,我们得到:

$$ E[Z] = E[X]\cdot E[Y_i] = \bigg(\frac{7}{2}\bigg) = \frac{49}{2} $$

总结

本片文章主要介绍了有关Martingale的有关内容，首先从条件期望开始，引出了Martingales的定义，Martingales是一个比较有用工具，主要用来分析一个随机变量的序列.Martingales的一个优势就是，它不要求独立性，这就比较强大了。

Martingales的定义之后，我们介绍Azuma's inequality,这里比较重要的是bounded difference condition,它保证了Martingales的序列不会离开初始状态太"远".

接着说明了一类特殊的Martingales——Doob Martingale,它描述了当序列中的随机变量逐渐被确定时，其函数值期望的变化过程。

最后介绍了Martingales中的Stoppinng Time相关的内容，描述了序列停止时的性质。

参考资料

Condtional Expecation
Martingales
Azuma's inequality
Chernoff Bound
MarkovInequity
Moment Generating Function
Taylor Series
Doob Martingale
《Probability and Computing:Randomized Algorithms and Probabilistic Analysis》

有点类似于Markov过程，只是依赖于之前所有的状态。 ↩
这里只证明原始的Azuma's Inequality，一般化的证明过程基本类似. ↩
此处的k在赌局开始之前就已经确定了。 ↩
《Probability and Computing》这本书的12.2.1节有一个更加复杂的例子，这里只举一个比较简单的例子。 ↩

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随机算法学习笔记6-Martingales

Continoal Expectation

Martingales

举例

Generalizations

Azuma's Inequality

证明

The Doob martingales

举例

Edge Exposure Martingale

Vertex Exposure Martingale

Chromatic number

Hoeffding's Inequality

Stoppinng Times

举例

Wald's Equation

举例

总结

参考资料

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