作为应用广泛的一种统计模型(尤其是在自然语言处理(NLP) 中),隐马尔科夫模型是非常值得一说的，本文就隐马尔科夫模型的原理和应用介绍进行说明。由于隐马尔科夫模型有着很多不同的具体算法实现，本文暂时跳过这部分内容，算法部分会另外写成一篇博文。

马尔科夫链

在语言模型及其实现中，我曾经简单地提到过马尔科夫链,这里将会全面详细的说明。

其实马尔科夫链是一种离散的随即过程，可以将其看成是一种有限自动机，但是其状态之间的转移并不是依赖于外界的输入，而是依赖于每个状态之间的转移概率。

如下图所示:

上图中每条边上的权重表示状态转移的概率，对于\(S_1\)来说，用数学语言表达就是:\(P(S_2\vert S_1)=0.5,P(S_4\vert S_1)=0.5\)

现在用更加严谨的数学表达来说明:

假设当前系统中一共有\(N\)个状态，而在每个时刻只可能处于一个状态,所有可能的状态集合用\(S=\{S_1,S_2,\cdots,S_N\}\)表示，用\(q_1,q_2,\cdots,q_n\)表示在时刻\(t=1,2,\cdots,n\)时的状态。

马尔科夫链有两个假设条件，分别是:

1. 有限视野:当前时刻的状态只与上一个时刻的状态有关。 用公式表示就是:\(P(q_t\vert q_{t-1}=S_i,q_{t-2}=S_k\cdots)=P(q_t\vert q_{t-1}=S_i)\)

2. 时间独立性:状态转移概率与时间无关。 用公式表示就是:\(P(q_t=S_j\vert q_{t-1}=S\_i)=P(q_k=S_j\vert q_{k-1}=s_i)\)

隐马尔科夫模型

而隐马尔科夫模型则是马尔科夫过程的一种扩展，或者说是一种双重的随机过程。隐马尔科夫模型是指，在马尔科夫链中的那些状态\(S=\{S_1,S_2,\cdots,S_N\}\)其实是不可见的，而可见的只是输出的状态\(W=\{W_1,W_2,\cdots,W_T\}\)，而从不可见状态到可见状态的转移也存在着一个概率,那些不可见的状态就被称为是隐藏状态,隐马尔科夫模型中的"隐"就是这么来的。

还是先用图来说明吧:

上图中的\(w_1,w_2,\cdots,w_n\)就是被观察到的状态(可见状态),\(s_0,s_1,s_2,\cdots,s_n\)就是隐藏状态(不可见状态).

相对于之前的马尔科夫链，隐马尔科夫模型有以下的不同之处:

1. 观察状态与隐藏状态之间存在概率关系
2. 多一个假设条件,输出独立性:可见状态仅与当前状态有关，用公式说明就是:\(P(W_1,W_2,\cdots,W_n\vert S_1.S_2,\cdots,S_n)=\prod\limits_{n}P(W_i\vert S_i)\)

隐马尔科夫模型可以用一个五元组来表示:\(\lambda=(S,W,A,B,\pi)\),其中:

• \(S\)表示隐藏状态集合，\(S=(S_1,S_2,\cdots,S_N)\)
• \(W\)表示观察状态集合,\(W=(W_1,W_2,\cdots,W_N)\)
• 状态序列\(Q=q_1,q_2,\cdots,q_T\)(隐藏),观察序列\(O=o_1,o_2,\cdots,o_T\)(可见)
• \(A\)是状态转移概率分布\(A=[a_{i,j}],a_{i,j}=P(q_t=s_j\vert q_{t-1}=s_i)\)
• \(B\)是观察值生成的概率分布\(B=[b_j(v_k)],b_j(v_k)=P(o_t=v_k\vert q_t=s_i)\)
• \(\pi\)是初始的状态概率分布，\(\pi=[\pi_i],\pi_i=P(q_1=s_i)\)

应用

到目前为止所说的隐马尔科夫模型都是太抽象了，仅仅知道它是什么还不能帮助我们完全理解它作用，下面就通过两个隐马尔科夫模型的应用，来说明这个模型的强大之处。

词性标注

在自然语言处理中，词性标注是一个非常基本的任务，简单来说，每一个词，不管是中文还是英语，它在句子中一定会有一个词性标记¹，比如名词、形容词等等。确定一个句子中每一个词的词性，是一个最基本的任务，它为后续的其他处理提供了基础信息。

在词性标注的任务中，我们可以将一个句子看成是可见状态序列,每一个词都是一个可见的状态(\(o_i\)),而每一个词都对应着一个词性，这个词性就是隐藏状态(\(q_i\))，而整个文本中的所有词汇表就是观察状态的集合(\(W\))，预定义的词性标记集就是隐藏状态集合(\(S\))。而我们的目标是，在给定一个观察序列\(O\)(句子，或者可以看成是词组的序列)的情况下,寻找其对应的隐藏状态序列\(Q\)(每一个词对应的词性标记)。

拼音输入法

隐马尔科夫模型另外一个比较重要的应用就是拼音输入法，目前主流的拼音输入法或多或少地运用到了隐马尔科夫模型。

在输入法的应用中，我们可以将用户输入的拼音序列看成是可见的状态序列，而拼音所对应的汉语词语就是不可见的隐藏状态，我们的目标是就是在给定拼音序列的情况下，寻找概率最大的隐藏状态序列。如下图所示:

其中，\(y_1,y_2,\cdots,y_N\)表示用户输入的拼音串(可见状态)，\(w_{11},w_{12},w_{13}\)表示第一个拼音\(y_1\)的候选汉字,其他的依次类推。

总结

在本篇文章中，只是着重介绍了马尔科夫过程和隐马尔科夫模型及其应用，具体的算法实现全部略过了，这是因为其实现算法中也包含了很多的内容，因此我打算将算法部分单独写成一篇博文，本篇文章中就没有涉及算法部分的内容了。

这里可以做一下简单的说明,隐马尔科夫模型的实现过程，主要有两大步骤:

1. 模型参数的学习，也即要学习获得隐马尔科夫模型5个要素中的转移概率矩阵\(A\)和\(B\).这个过程主要有两种方法，分别是基于监督方法的极大似然估计和基于非监督方法的EM算法。

2. 模型解码，也即在给定转移矩阵和可见转台序列的情况下，如何寻找到最有的隐藏状态序列，这个过程可以利用基于动态规划思想的Viterbi算法来解决。

参考资料

• Wiki:马尔科夫链
• 隐马尔科夫模型(HMM)及其扩展
• 《数学之美》-吴军

Share on: Twitter ❄ Facebook ❄ Email

---

---