向量范数

定义

定义: 如果V是数域F上的线性空间，且对于V中任意一向量x，对应着一个实值函数‖x‖，它满足下面三个条件:

1. ‖x‖≥0;‖x‖=0⇔x=0 正定性
2. ‖αx‖=|α|⋅‖x‖，对∀α∈F 齐次性
3. ‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖ 三角不等式

则称‖x‖为V上向量x的范数(norm)¹

定义: 定义了向量范数‖.‖的线性空间Vn就称为赋范空间，这里的‖.‖表示泛指的任何一种范数。

常用向量范数

1. x的1范数: ‖x‖1=|x1|+|x2|+⋯+|xn|
2. x的2范数(欧式范数): {% math %}\Vert x \Vert_2 = (\vert x_1\vert^2 + \vert x_2\vert^2 +\cdots +\vert x_n\vert^2)^{\frac{1}{2}}{% endmath %}
3. x的∞范数(最大范数): ‖x‖_∞=max_1≤i≤n|x_i|
4. x的p范数(p≥1): {% math %}\Vert x \Vert_p = (\vert x_1\vert^p + \vert x_2\vert^p +\cdots +\vert x_n\vert^p)^{\frac{1}{p}}{% endmath %}

向量范数的几何意义

其实常用的几个范数在直观上是有几何意义的，如下所示:

• ‖x‖∞=max(|x2−x1|,|y2−y1|) 长的直角边
• ‖x‖1=|x2−x1|+|y2−y1| 两直角边之和
• {% math %}\Vert x\Vert_2 = \sqrt{(y_2-y_1)^2+(x_2-x_1)^2}{% endmath %} 斜边

向量范数之间的关系

定义: 设‖x‖α与‖x‖β是n维线性空间Vn上定义的任意两种范数，若存在两个与x无关的正常数c1,c2，使得:

则称‖x‖_α与‖x‖β是等价的

定理: 同一个有限维线性空间上不同的范数是等价的。

矩阵范数

定义

定义: 设A为n×n的方阵矩阵，‖∙‖是以A为自变量的的实值函数，且满足条件:

1. 非负性: ‖A‖≥0,且‖A‖=0当前仅当A=0
2. 齐次性: ‖αA‖=|α|‖A‖,α∈R
3. 三角不等式: ‖A+B‖≤‖A‖+‖B‖
4. 相容性: ‖AB‖≤‖A‖‖B‖

则称‖A‖为矩阵A的范数

常用矩阵范数

1. ‖A‖1=max1≤j≤n∑_i=1n|aij| A的每列绝对值之和的最大值，称为{% math %}A{% endmath %}的列范数 .
2. ‖A‖∞=max1≤i≤n∑nj=1|aij| A的每行绝对值之和的最大值，称为A的行范数 .
3. ‖A‖2=√λmax(ATA) 称为A的2范数 ，其中λmax(ATA)为ATA的特征值的绝对值的最大值
4. ‖A‖F=√∑ni=1∑nj=1|ai,j|2 称为Frobenius范数 .

| ‖A‖1,‖A‖∞ | ‖A‖2 | ‖A‖F | | 容易计算，使用最广泛 | 计算较复杂 对矩阵元素比较敏感，性质较好，使用比较广泛 | 较少使用 |

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谱半径

定义: 设A∈Rn×n的特征值为λ1,λ2,⋯,λn称

为矩阵A的谱半径²

定理: 设A为n阶方阵，则对任意算子范数‖⋅‖有

证明:

根据算子范数的相容性,得到‖Ax‖≤‖A‖⋅‖x‖

将任意一个特征根λ所对应的特征向量u代入

即|λ|≤‖A‖，所以ρ(A)≤‖A‖

这个定理说明:矩阵A的谱半径不超过矩阵的任何一种算子范数

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定理: 若A对称，则有‖A‖2=ρ(A)

证明:

‖A‖2=√λmax(ATA)=√λmax(A2)

又因为:若λ是A的一个特征根，则λ2必是A2的特征根.

所以，A中特征根绝对值最大的|λ|max必满足:|λ|2max=λmax(A2)

代入上式中，得到:

根据ρ(A)的定义，即得到‖A‖2=ρ(A)

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