线性变换的特征值问题
定义1: 设T是数域F上线性空间Vn的一个线性变换，如果存在λ∈F以及非零向量ξ∈Vn使得
T(ξ)=λξ
则称λ为T的特征值，并称ξ为T对应于特征值λ的特征向量
此处的 线性变换是指从线性空间自己到自己的线性算子T:Vn→Vn
这里的 特征值和特征向量都是非常抽象的概念，联想到之前的几篇笔记中曾经将抽象的线性空间中的元素用具体的坐标来表示，用具体的数字矩阵来表示线性算子，那么，我们不经要问，有没有办法用具体的数来表示线性空间中抽象的特征值和特征向量概念呢？很显然，答案是肯定的，推导过程如下：
假设α1,α2,⋯,αn是n维线性空间Vn的一组基，线性变换T在该基底下的矩阵表示为A，如果λ是T的特征值，x是相应的特征向量，则1
ξ=(α1,α2,⋯,αn)[x1x2⋮xn]
根据上一篇笔记中的线性算子的矩阵表示说明，我们可以得到如下的等式：
T[(α1,α2,⋯,αn)][x1x2⋮xn]=(α1,α2,⋯,αn)A[x1x2⋮xn]
又根据式子???，我们可以得到：
T[(α1,α2,⋯,αn)][x1x2⋮xn]=(α1,α2,⋯,αn)λ[x1x2⋮xn]
联合上述两个等式，我们得到：
(α1,α2,⋯,αn)A[x1x2⋮xn]=(α1,α2,⋯,αn)λ[x1x2⋮xn]
因为α1,α2,⋯,αn是Vn中的基底，所以α1,α2,⋯,αn是线性无关的，因此最终我们得到:
A[x1x2⋮xn]=λ[x1x2⋮xn]
而上述的等式，就是矩阵 特征值和特征向量的定义，所以，我们可以得出这样的结论:线性变换T的特征值λ也是A的特征值
仔细想想，根据上面这条结论其实是有些问题的，因为一个线性空间有多个不同的基底，根据不同的基底，线性变换T就会有不同的矩阵表示A，那就是说线性变换T会有多组不同的特征值？其实线性变化T的特征值是确定的，不存在多组不同的值，存在以下几个结论，能够保证不会出现上述的情况：
- 同一线性变换在Vn的不同基底下的矩阵表示是相似的
- 相似矩阵有相同的特征多项式
- 相似矩阵有相同的特征值
关于n阶矩阵及其特征值λ，还有如下的结论:
- n阶矩阵μA有特征值μλ,对应的特征向量仍为x(μ为任意常数)
- 矩阵Am有特征值λm,对应的特征向量仍为x(m为正整数)
- 矩阵A−1有特征值λ−1(λ≠0),对应的特征向量仍为x.
- 矩阵AT有特征值λ
-
其中，ξ表示的是一个抽象的向量，x1,x2⋯xn则是这个抽象向量在α1,α2,⋯,αn基底下的坐标表示。 ↩