向量范数

定义

定义: 如果\(V\)是数域\(F\)上的线性空间,且对于\(V\)中任意一向量\(x\),对应着一个实值函数\(\Vert x \Vert\),它满足下面三个条件:

  1. \(\Vert x \Vert\geq 0;\Vert x \Vert = 0 \Leftrightarrow x=0\) 正定性
  2. \(\Vert\alpha x \Vert = \vert\alpha\vert \cdot \Vert x \Vert\),对\(\forall\alpha\in F\) 齐次性
  3. \(\Vert x+y \Vert\leq \Vert x\Vert + \Vert y \Vert\) 三角不等式

则称\(\Vert x \Vert\)\(V\)上向量\(x\)范数(norm)1

定义: 定义了向量范数\(\Vert . \Vert\)的线性空间\(V^n\)就称为赋范空间,这里的\(\Vert . \Vert\)表示泛指的任何一种范数。

常用向量范数

  1. \(x\)的1范数: \(\Vert x \Vert_1 = \vert x_1\vert + \vert x_2\vert +\cdots +\vert x_n\vert\)
  2. \(x\)的2范数(欧式范数): {% math %}\Vert x \Vert_2 = (\vert x_1\vert^2 + \vert x_2\vert^2 +\cdots +\vert x_n\vert^2)^{\frac{1}{2}}{% endmath %}
  3. \(x\)\(\infty\)范数(最大范数): \(\Vert x \Vert\_{\infty} = \max\_{1\leq i\leq n}\vert x\_i\vert\)
  4. \(x\)\(p\)范数(\(p \geq 1\)): {% math %}\Vert x \Vert_p = (\vert x_1\vert^p + \vert x_2\vert^p +\cdots +\vert x_n\vert^p)^{\frac{1}{p}}{% endmath %}

向量范数的几何意义

其实常用的几个范数在直观上是有几何意义的,如下所示:

  • \(\Vert x\Vert_{\infty} = \max(\vert x_2-x_1\vert,\vert y_2-y_1\vert)\) 长的直角边
  • \(\Vert x\Vert_1 = \vert x_2-x_1\vert + \vert y_2-y_1\vert\) 两直角边之和
  • {% math %}\Vert x\Vert_2 = \sqrt{(y_2-y_1)^2+(x_2-x_1)^2}{% endmath %} 斜边

向量范数

向量范数之间的关系

定义:\(\Vert x\Vert_{\alpha}\)\(\Vert x \Vert_{\beta}\)\(n\)维线性空间\(V^n\)上定义的任意两种范数,若存在两个与\(x\)无关的正常数\(c_1,c_2\),使得:

$$ \begin{equation} c_1\Vert x\Vert_{\beta}\leq \Vert x \Vert_{\alpha}\leq c_2\Vert x \Vert_{\beta}, \forall x \in V^n \end{equation} $$

则称\(\Vert x\Vert\_{\alpha}\)\(\Vert x\Vert_{\beta}\)等价的

定理: 同一个有限维线性空间上不同的范数是等价的。

矩阵范数

定义

定义:\(A\)\(n\times n\)的方阵矩阵,\(\Vert \bullet \Vert\)是以\(A\)为自变量的的实值函数,且满足条件:

  1. 非负性: \(\Vert A \Vert\geq 0\),且\(\Vert A \Vert=0\)当前仅当\(A=0\)
  2. 齐次性: \(\Vert\alpha A\Vert=\vert \alpha \vert \Vert A \Vert,\alpha\in R\)
  3. 三角不等式: \(\Vert A+B \Vert\leq \Vert A\Vert + \Vert B\Vert\)
  4. 相容性: \(\Vert AB \Vert\leq \Vert A\Vert\Vert B\Vert\)

则称\(\Vert A\Vert\)为矩阵\(A\)范数

常用矩阵范数

  1. \(\Vert A \Vert_1 = \max_{1\leq j\leq n}\sum\_{i=1}^n\vert a_{ij}\vert\) \(A\)的每列绝对值之和的最大值,称为{% math %}A{% endmath %}的列范数 .
  2. \(\Vert A \Vert_{\infty} = \max_{1\leq i\leq n}\sum_{j=1}^n\vert a_{ij}\vert\) \(A\)的每行绝对值之和的最大值,称为\(A\)的行范数 .
  3. \(\Vert A\Vert_{2}=\sqrt{\lambda_{max}(A^TA)}\) 称为\(A\)的2范数 ,其中\(\lambda_{max}(A^TA)\)\(A^TA\)的特征值的绝对值的最大值
  4. \(\Vert A \Vert_{F}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\vert a_{i,j}\vert^2}\) 称为Frobenius范数 .

| \(\Vert A \Vert_1\),\(\Vert A \Vert_{\infty}\) | \(\Vert A\Vert_{2}\) | \(\Vert A \Vert_{F}\) | | 容易计算,使用最广泛 | 计算较复杂 对矩阵元素比较敏感,性质较好,使用比较广泛 | 较少使用 |


谱半径

定义:\(A\in R^{n\times n}\)的特征值为\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)

$$ \begin{equation} \rho(A) = \max\{\vert\lambda_1\vert,\vert\lambda_2\vert,\cdots,\vert\lambda_n\vert\} \end{equation} $$

为矩阵\(A\)谱半径2

定理:\(A\)\(n\)阶方阵,则对任意算子范数\(\Vert \cdot \Vert\)

$$ \begin{equation} \rho(A) \leq \Vert A\Vert \end{equation} $$

证明:

根据算子范数的相容性,得到\(\Vert Ax\Vert\leq\Vert A\Vert\cdot\Vert x\Vert\)

将任意一个特征根\(\lambda\)所对应的特征向量\(u\)代入

$$ \begin{equation} \vert \lambda \vert\cdot\Vert u\Vert = \Vert \lambda u\Vert = \Vert Au \Vert \leq \Vert A \Vert\cdot\Vert u\Vert \end{equation} $$

\(\vert\lambda\vert\leq\Vert A\Vert\),所以\(\rho(A) \leq \Vert A\Vert\)

这个定理说明:矩阵A的谱半径不超过矩阵的任何一种算子范数


定理:\(A\)对称,则有\(\Vert A\Vert_2=\rho(A)\)

证明:

\(\Vert A\Vert_{2}=\sqrt{\lambda_{max}(A^TA)}=\sqrt{\lambda_{max}(A^2)}\)

又因为:若\(\lambda\)\(A\)的一个特征根,则\(\lambda^2\)必是\(A^2\)的特征根.

所以,\(A\)中特征根绝对值最大的\(\vert \lambda\vert_{max}\)必满足:\(\vert \lambda\vert_{max}^2 = \lambda_{max}(A^2)\)

代入上式中,得到:

$$ \begin{equation} \Vert A\Vert_{2}=\sqrt{\lambda_{max}(A^TA)}=\sqrt{\lambda_{max}(A^2)}=\sqrt{\vert \lambda\vert_{max}^2}=\vert \lambda\vert_{max} \end{equation} $$

根据\(\rho(A)\)的定义,即得到\(\Vert A\Vert_{2} = \rho(A)\)


  1. 证明一个实值函数是一个范数,就是需要证明这个函数满足上述3个条件。 

  2. 根据定义,显然有\(\Vert A\Vert_{2}=\sqrt{\lambda_{max}(A^TA)}=\sqrt{\rho(A^TA)}\) 

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