初等矩阵
定义: 设u,v∈Cn,σ为一复数，形式为E(u,v,σ)=I−σuvH的矩阵，称为初等矩阵。
第一次看到这个定义的时候，有点蒙……仔细研究了一下，觉得这里有几点需要强调一下:
- 这的C是复数域符号，以前不太接触复数域，所以一上来这个符号有点没反应过来，所以Cn是指复数域上的向量
- H是复数域上的一种矩阵运算符号，称为共轭转置，在实数域中就可以被认为是转置操作(T)
初等矩阵的性质
- det(E(u,v,σ))=1−σvHu
- 如果σVHu≠1，则E(u,v,σ)可逆，并且其逆矩阵也是初等矩阵E(u,v,σ)−1=E(u,v,τ)，其中τ=σσvHu−1
- 对任意的非零向量a,b∈Cn，可适当选取u,v和σ使得E(u,v,σ)a=b
两种比较重要的初等矩阵
初等下三角矩阵
令u=li=(0,⋯,0,li+1,i,⋯,lni),v=ei,σ=1则Li=Li(li)=E(li,ei,1)称为初等下三角矩阵，即
Li=Li(li)=I−lieTi=[10⋱1−li+1,i1⋮⋱0⋮0⋱−ln,i1]
其中ei=(0,⋯,1⏟i,0,⋯,0)
HouseHolder变换
在初等矩阵E(u,v,σ)=I−σuvt中取u=v=ω,σ=2，并且ω是单位向量，即‖ω‖=1,初等矩阵
H(ω)=E(ω,ω,2)=I−2ωωH
称为HouseHolder矩阵或初等Hermit矩阵
HouseHolder矩阵的性质
- HouseHolder矩阵是对称的
- HouseHolder矩阵是正交矩阵
- HouseHolder矩阵的保范性，即对向量x,y，总有(Hx,Hy)=(x,y)(不改变内积)
定理: 设向量x和y满足‖x‖=‖y‖，于是取向量ω=y−x，构造HouseHolder矩阵{% math %}H=I-2\omega\omega^T/\omega^T\omega{% endmath %}，就能使得Hx=y
HouseHolder变换的一个基本作用是使被选定的矩阵或向量的某些元素消为零。HouseHolder矩阵能在保持向量二范数和内积不变的情况，将一些元素消成零。
矩阵的满秩分解
满秩分解定理: 设m×n矩阵A的秩为r>0，则存在m×r矩阵B和r×n矩阵C使得
A=BC
并且rank(B)=rank(C)=r
证明：
假设A∈Rm×n，且rank(A)=r≤min(m,n)，则总存在m阶矩阵P和n阶矩阵Q，使得\(A=P
[Ir000]
Q\)
又因为\(
[Ir000]
=[Ir0]
[Ir0]
\)
所以令\(B=P
[Ir0]
\),\(C=[Ir0]
Q\)
即A=BC