初等矩阵
定义: 设\(u,v\in C^n\),\(\sigma\)为一复数，形式为\(E(u,v,\sigma)=I-\sigma uv^H\)的矩阵，称为初等矩阵。
第一次看到这个定义的时候，有点蒙……仔细研究了一下，觉得这里有几点需要强调一下:
- 这的\(C\)是复数域符号，以前不太接触复数域，所以一上来这个符号有点没反应过来，所以\(C^n\)是指复数域上的向量
- \(H\)是复数域上的一种矩阵运算符号，称为共轭转置，在实数域中就可以被认为是转置操作(\(T\))
初等矩阵的性质
- \(det(E(u,v,\sigma))=1-\sigma v^Hu\)
- 如果\(\sigma V^Hu\neq 1\)，则\(E(u,v,\sigma)\)可逆，并且其逆矩阵也是初等矩阵\(E(u,v,\sigma)^{-1}=E(u,v,\tau)\)，其中\(\tau = \frac{\sigma}{\sigma v^Hu-1}\)
- 对任意的非零向量\(a,b\in C^n\)，可适当选取\(u,v\)和\(\sigma\)使得\(E(u,v,\sigma)a=b\)
两种比较重要的初等矩阵
初等下三角矩阵
令\(u=l_i=(0,\cdots,0,l_{i+1,i},\cdots,l_{ni})\),\(v=e_i\),\(\sigma=1\)则\(L_i=L_i(l_i)=E(l_i,e_i,1)\)称为初等下三角矩阵，即
其中\(e_i=(\underbrace{0,\cdots,1}_\text{i},0,\cdots,0)\)
HouseHolder变换
在初等矩阵\(E(u,v,\sigma)=I-\sigma uv^t\)中取\(u=v=\omega,\sigma=2\)，并且\(\omega\)是单位向量，即\(\Vert\omega\Vert=1\),初等矩阵
称为HouseHolder矩阵或初等Hermit矩阵
HouseHolder矩阵的性质
- HouseHolder矩阵是对称的
- HouseHolder矩阵是正交矩阵
- HouseHolder矩阵的保范性，即对向量\(x,y\)，总有\((Hx,Hy)=(x,y)\)(不改变内积)
定理: 设向量\(x\)和\(y\)满足\(\Vert x\Vert=\Vert y\Vert\)，于是取向量\(\omega=y-x\)，构造HouseHolder矩阵{% math %}H=I-2\omega\omega^T/\omega^T\omega{% endmath %}，就能使得\(Hx=y\)
HouseHolder变换的一个基本作用是使被选定的矩阵或向量的某些元素消为零。HouseHolder矩阵能在保持向量二范数和内积不变的情况，将一些元素消成零。
矩阵的满秩分解
满秩分解定理: 设\(m\times n\)矩阵\(A\)的秩为\(r>0\)，则存在\(m\times r\)矩阵\(B\)和\(r\times n\)矩阵\(C\)使得
并且\(rank(B)=rank(C)=r\)
证明：
假设\(A\in R^{m\times n}\)，且\(rank(A)=r\le\min(m,n)\)，则总存在\(m\)阶矩阵\(P\)和\(n\)阶矩阵\(Q\)，使得\(A=P
又因为\(
所以令\(B=P
即\(A=BC\)