特征值和特征向量之间的关系
上一篇的矩阵论笔记中，说明了如何计算一个线性变换的特征向量和特征值，今天主要是记录特征值和特征向量之间的关系。
首先根据代数基本定理:n次代数方程在复数域内有且仅有n个根，因此n阶矩阵A在复数域内有且仅有n个特征值。设λ1,λ2,⋯,λr是A的相异特征值，他们的重数分别为m1,m2,⋯,mr，则称mi是λi的代数重数。很显然，对于代数重数来说，一定满足∑ri=1mi=n
对于线性空间V上线性变换T，属于特征值λi的全部特征向量再加上零向量所组成的集合，记为Vλi，即
对于矩阵A∈Cn×n，λi是A的一个特征值，也记为Vλi:
则Vλi是Cn×n的一个子空间，称Vλi是矩阵A1的对应于λi的特征子空间
显然特征子空间的维数dim(Vλi)就是对应λi的线性无关特征向量的最大个数，我们称dim(Vλi)为特征值λi的几何重数
关于λi的代数重数和几何重数的关系有如下定理:
- 矩阵A的任一特征值的几何重数不大于它的代数重数
- 如果λ_0的代数重数是1，则它的几何重数dim(Vλ_0)=1
相异特征值对应的特征向量之间的关系
定理: 设λi,λj是矩阵A的两个互异特征值，xi,xj是对应的特征向量，则xi,xj是线性无关的。
证明: 设有k1xi+k2xj=0，等式两边同时右乘(λiI−A),得到2:k2(λiI−A)xj=0⇒k2(λi−λj)x_j=03.又因为λi≠λj,xj≠0,所以k2=0,同理推得ki=0,所以xi和xj是线性无关的。
推论: n阶矩阵A若有n个不同特征值，则A一定有n个线性无关的特征向量
推论: n阶矩阵A的每一个特征值的代数重数等于几何重数，则A一定有n个线性无关的特征向量
对角矩阵与线性变换
定义: 设T是数域F上的n维线性空间Vn上的一个线性变换，如果Vn中存在一组基使得T在这组基下的矩阵表示是对角矩阵，则称T是可对角化的。
定理: 数域F上的n维线性空间Vn的一个线性变换,T可对角化的充要条件是:T有n个线性无关的特征向量
定义: 如果n阶矩阵A与对角矩阵相似，则称矩阵A是可对角化的。
定理: n阶矩阵A可对角化的充要条件是:A有n个线性无关的特征向量
定义: 当n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量时，则称矩阵A有完备的特征向量系,否则就称A为亏损矩阵
不变子空间
定义: 设Vn是数域上F上的一个n维线性空间，T是Vn上的线性变换，V1⊆Vn的子空间，如果对于任何ξ∈V1恒有T(ξ)∈V1，则称V1是关于T的不变子空间
从上面这个定义可以看出，整个线性空间V和零子空间对于每个线性变换T来说都是其不变子空间