特征值和特征向量之间的关系
上一篇的矩阵论笔记中，说明了如何计算一个线性变换的特征向量和特征值，今天主要是记录特征值和特征向量之间的关系。
首先根据代数基本定理:n次代数方程在复数域内有且仅有n个根，因此n阶矩阵A在复数域内有且仅有n个特征值。设\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r\)是A的相异特征值，他们的重数分别为\(m_1,m_2,\cdots,m_r\)，则称\(m_i\)是\(\lambda_i\)的代数重数。很显然，对于代数重数来说，一定满足\(\sum_{i=1}^r m_i=n\)
对于线性空间\(V\)上线性变换\(T\)，属于特征值\(\lambda_i\)的全部特征向量再加上零向量所组成的集合，记为\(V_{\lambda_i}\)，即
对于矩阵\(A\in C^{n\times n}\)，\(\lambda_i\)是\(A\)的一个特征值，也记为\(V_{\lambda_i}\):
则\(V_{\lambda_i}\)是\(C^{n\times n}\)的一个子空间，称\(V_{\lambda_i}\)是矩阵\(A\)1的对应于\(\lambda_i\)的特征子空间
显然特征子空间的维数\(dim(V_{\lambda_i})\)就是对应\(\lambda_i\)的线性无关特征向量的最大个数，我们称\(dim(V_{\lambda_i})\)为特征值\(\lambda_i\)的几何重数
关于\(\lambda_i\)的代数重数和几何重数的关系有如下定理:
- 矩阵\(A\)的任一特征值的几何重数不大于它的代数重数
- 如果\(\lambda\_0\)的代数重数是1，则它的几何重数\(dim(V_{\lambda\_0})=1\)
相异特征值对应的特征向量之间的关系
定理: 设\(\lambda_i\),\(\lambda_j\)是矩阵\(A\)的两个互异特征值，\(x_i\),\(x_j\)是对应的特征向量，则\(x_i\),\(x_j\)是线性无关的。
证明: 设有\(k_1 x_i + k_2 x_j = 0\)，等式两边同时右乘\((\lambda_{i}I-A)\),得到2:\(k_2(\lambda_iI-A)x_j=0\Rightarrow k_2(\lambda_i-\lambda_j)x\_j=0\)3.又因为\(\lambda_i\neq\lambda_j\),\(x_j\neq 0\),所以\(k_2=0\),同理推得\(k_i=0\),所以\(x_i\)和\(x_j\)是线性无关的。
推论: \(n\)阶矩阵\(A\)若有\(n\)个不同特征值，则\(A\)一定有\(n\)个线性无关的特征向量
推论: \(n\)阶矩阵\(A\)的每一个特征值的代数重数等于几何重数，则\(A\)一定有\(n\)个线性无关的特征向量
对角矩阵与线性变换
定义: 设\(T\)是数域\(F\)上的\(n\)维线性空间\(V^{n}\)上的一个线性变换，如果\(V^{n}\)中存在一组基使得\(T\)在这组基下的矩阵表示是对角矩阵，则称\(T\)是可对角化的。
定理: 数域\(F\)上的\(n\)维线性空间\(V^{n}\)的一个线性变换,T可对角化的充要条件是:T有n个线性无关的特征向量
定义: 如果n阶矩阵A与对角矩阵相似，则称矩阵A是可对角化的。
定理: n阶矩阵A可对角化的充要条件是:A有n个线性无关的特征向量
定义: 当n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量时，则称矩阵A有完备的特征向量系,否则就称A为亏损矩阵
不变子空间
定义: 设\(V^n\)是数域上F上的一个n维线性空间，T是\(V^n\)上的线性变换，\(V_1\subseteq V^n\)的子空间，如果对于任何\(\xi\in V_1\)恒有\(T(\xi)\in V_1\)，则称\(V_1\)是关于T的不变子空间
从上面这个定义可以看出，整个线性空间V和零子空间对于每个线性变换T来说都是其不变子空间