同构算子与线性空间同构
上一次的笔记中，我们讲到了 线性算子，线性算子其实就是满足某些条件的从一个线性空间转换到另一个线性空间转换过程，可以说线性算子是一种特殊的转换过程。而现在要讲的同构算子是一种特殊的线性算子。
定义: 设X,Y是线性空间，T是X→Y的线性算子，且是"一对一"的，即满足:
- T(X)=Y(全映射)
- 若x1,x2∈X,当x1≠x2时，有T(x1)≠T(x2)
那么，就称T为X与Y间的一个同构算子
若X与Y之间存在同构算子，则称X与Y是同构的线性空间
同构的线性空间有如下的性质：
- 传递性，若V1与V2同构，V2与V3同构，则V1与V3也同构
- 同构的线性空间中的零向量必定是相互对应的1
- 同构的线性空间中的线性相关向量系对应于线性相关向量系，线性无关向量系对应于线性无关向量系
根据同构空间的定义，我们很容易得出这样的结论:同构空间的维数一定是相等的！
事实上，存在着如下的定理:
定理1 数域F上的两个有限维线性空间同构的充要条件是两空间的维数相等
同构空间的概念是非常有用的，可以使得不同的线性空间Vn的问题转化到向量空间Fn中的问题加以研究。
线性算子的矩阵表示
一个线性空间可以用其坐标来表示，那么线性算子能否使用具体的数字来表示呢？为了回答这个问题，我们首先要定义线性算子相等的概念:
定义2: 设T1与T2是由Vn到Vm的两个线性算子，如果对于任何x∈Vn恒有T_1(x)=T_2(x)∈Vm，则说线性算子T_1与T_2相等
定义3: 设α1,α2,⋯,αn是n维线性空间Vn的一组基，T是由Vn到Vm的线性算子，则T(α1),T(α2),⋯T(αn)∈Vm叫做Vn在算子T下的基象
有了上述两个概念，我有如下的定理：
定理2 由Vn到Vm的线性算子T是由基象T(α1),T(α2),⋯T(αn)唯一确定的
设x∈Vn且x=λ1α1+λ2α2+⋯λnαn，则
其中λ_1,λ_2,⋯,λ_n是已知的，所以只要知道T(α_1),T(α_2),⋯T(α_n)便确定了T(x)
因为T(x)∈Vm，所以
其中βi是Vm中的基。
因此，我们可以得到：
其中，a11,a21,⋯,am1是α1经过T变换后，在象空间的坐标表示。
上式中的Am×n称为线性算子T在基底{α1,α2,⋯,αn}与{β1,β2,⋯,βm}下的矩阵表示
从上述的推导过程中，我们可以知道，要求一个线性算子T的矩阵表示，只需要求出线性空间Vn的一组基底{α1,α2,⋯,αn}在经过T转换之后在线性空间Vm中以{β1,β2,⋯,βm}为基底的坐标，这些坐标所形成的矩阵就是线性算子T:Vn→Vm的矩阵表示。
线性算子的运算
假设把线性空间V1到V2的所有线性算子组成的集合表示为L(V1,V2)，则L(V2,V3)和L(V1,V3)分别表示V2到V3和V1到V3的所有线性算子的集合。
则线性算子的 和与积分别定义为:
定义1: 设T1,T2∈L(V1,V2)，则线性算子T1与T2的和为:(T1+T2)(x)=T1(x)+T2(x)∀x∈V1
定义2: 设T1∈L(V1,V2),T1∈L(V2,V3)，则定义T2T1为T1与T2的积:T2T1(x)=T2(T1(x))∀x∈V1
根据上述定义，线性算子的 和与积可以证明仍然是线性算子2