线性空间的基底变换与转移矩阵
之前曾经说过，在一个线性空间中，它有着很多不同的基底，每一组基底都能唯一地刻画整个线性空间，那么，我们就要想，如果这些 不同的基底刻画的是相同的线性空间，那么这些不同的基底之间是否存在某些转化关系呢？因此，我们就引出了转移矩阵的概念：
定义1: 设[α1,α2,⋯,αn]和[β1,β2,⋯,βn]是线性空间V的两个不同的基底，且满足
其中P=[p1,p2,⋯,pn]，其第i列是βi在[α1,α2,⋯,αn]下的坐标，P是可逆的1，则称P是由基底[α1,α2,⋯,αn]到[β1,β2,⋯,βn]的转换矩阵
上述 转移矩阵表达的是两个不同基底之间的转化关系，那我们不禁又要问：在这两个基底下的坐标表示又有什么联系呢?
我们可以做一下推导：
设s=[α1,α2,⋯,αn]x且s=[β1,β2,⋯,βn]y，其中x,y分别表示在向量s在[α1,α2,⋯,αn]和[β1,β2,⋯,βn]下的坐标，根据上面对转移矩阵的定义，我们可以得到:
又因为[α1,α2,⋯,αn]是线性无关的(非奇异)的，所以x−Py=0⇒x=Py，这就是向量s在向量空间V中两个不同基底下的坐标转换关系。
得出了这样的转换关系，同一个线性空间中的元素就能在不同的基下自由转化了，一般来说，在平时使用的时候，我们都默认是在 自然基底下的坐标，对于二维空间来说，自然基底是[{1,0},{0,1}]，而三维空间则是[{1,0,0},{0,1,0},{0,0,1}].
线性算子
定义2: 设X和Y都是数域F上的线性空间，若映射T:X→Y满足条件：
- T(x1+x2)=Tx1+Tx2 (∀x1,x2∈X)
- T(λx)=λTx (∀λ∈F,x∈X)
则称T是从X到Y的线性算子(或者线性映射)2
对于Tx=y来说，x称为原像,y称为像，X称为定义域，Y称为值域(事实上值域并没有"充满"Y，也就说，X中的每一个元素都可以通过映射T映射到Y中的元素，但是并不是说Y中的每一个元素都有一个X中的元素与其对应。)
特殊的线性算子
线性空间X到自身的线性算子称为X上的线性变换
线性空间X到数域F的线性算子称为X上的线性泛函
线性算子的性质
- T(0)=0,T(−x)=−T(x)∀x∈X
- T(λ1x1+λ2x2+⋯+λnxn)=λ1T(x1)+λ2T(x2)+⋯+λnT(xn)
- 若{x1,x2,⋯,xn}是X中的线性相关系，则{T(x1),T(x2),⋯,T(xn)}是Y中的线性相关系
- 若{x1,x2,⋯,xn}在X中线性不相关，则{T(x1),T(x2),⋯,T(xn)}在Y中不一定线性相关