定义1: 设V是数域上的线性空间，W是V的一个非空子集。如果W关于V的加法与数量运算也组成数域F上的线性空间，我们则称W是V的一个子空间。
上面这个定义是非常数学化的，其实，通俗来说，线性空间V的子空间就是它自己的一个子集，并且这个子集上的元素满足V中元素的运算性质。这个定义不难理解，简单的例子就是三维空间和二维平面的关系。
生成子空间
定义2: 设x1,x2,⋯,xn是线性空间V中的元素，令W={k1x1+k1x1+⋯+knxn‖ki∈F}，则称集合W是由向量系x1,x2,⋯,xn的生成子空间，记为W=span{x1,x2,⋯,xn}={k1x1+k2x2+⋯+knxn‖ki∈F}
上面这个定义也是很好理解的，其实 生成子空间是原空间中某些元素(称为向量系)的所有线性组合所形成空间。注意，此处的向量系不一定是线性无关的，这里的向量系指的是所有的向量系。
一些特殊的子空间
交空间: W1∩W2={α‖α∈W1且α∈W2}
和空间: W1+W2={α+β‖α∈W1,β∈W2}
其中W1，W2是V的子空间，可以证明，W1∩W2和W1+W2也是V的子空间，此处只对W1+W2做出简略证明:
设x,y∈W1+W2,A,B∈F,根据W1+W2的定义，我们可以得到：
在上式中，a1,b1,a2,b2∈F，所以:
又因为α1,α2∈W1,β1,β2∈W2，所以Aa1α1+Ba2α2∈W1,Ab1β1+Ba1β2∈W2,因此：
证闭1
需要注意的是:每个线性空间都至少有2个子空间，一个是其自身，另一个是仅有零元素组成的子空间称为零子空间，这两个子空间称为平凡子空间。
还两个比较特殊的子空间：
A的零空间(N(A)): N(A)={x|Ax=0,x∈Fn}
A的象空间(R(A)): R(A)={y∈Fn|y=Ax,∀x∈Fn}
这里需要注意的是， N(A)是满足条件的x的集合，而R(A)是所有Ax的集合。
直接和空间
上面我们定义了 和空间的概念，简单来说，就是和空间中的任意一个元素都可以表示成另外两个线性空间元素的和，即
但是这样的表示并不是唯一的，如果说我们需要一个能够唯一的表示，那么有如下的定义
定义3： 如果V1+V2中任一向量只能唯一地表示为子空间V1的一个向量与子空间V2的一个向量的和，则称V1+V2为直接和，记为V1⊕V2
定理: V1+V2为直接和的充要条件是:V1与V2之交V1∩V2为零空间，即V1∩V2={0}2
直接和的几何意义可以这么理解:从V1,V2中任意取出两个非零元素x,y，则x与y必是线性无关的。
关于 直接和，还有以下几个推论和定理：
推论1: V1+V2为直接和的充要条件为dim(V1+V2)=dimV1+dimV2
推论2: 设V1+V2为直接和，若x1,x2,⋯,xr是V1的一组基，y1,y2,⋯,yk是V2的一组基，则x1,x2,⋯,xr,y1,y2,⋯,yk是V1⊕V2的一组基。
定理: 设V1是n维线性空间V的一个子空间，则一定存在V的一个子空间V2，使得V=V1⊕V2
凸集的概念
定义4: 设C是V的非空子集，若∀x,y∈C，连接x与y的“线段”λx+(1−λ)y(0≤λ≤1)均在C中，即
则称C是V中的凸集。
凸集的直观理解是:集合中任意两点之间的连线仍然在该集合中。