在之前的决策树0-基本模型和决策树1-建模过程 中分别分析了什么是决策树模型和决策树的建模过程，但是这两篇文章都是在比较抽象的层次上介绍决策树的，本篇文章聚焦于决策树模型的具体代码实现，本篇文章将会主要分析决策树模型的三个经典实现算法，分别是ID3,C4.5和CART(决策树模型的具体算法实现还有很多不同的版本，绝不仅仅这里列出的这三种，这三种算法是最为经典的。)，这三个方法各有利弊，针对不同的问题可以选择不同的算法。

ID3算法

主要过程

ID3算法是一种比较简单的决策树实现方式，它使用的是信息增益作为节点的分裂指标，并且没有剪枝操作。

关于信息增益和节点的分裂标准的概念已经在决策树1-建模过程中说明了，这里就不再重复了，直接给出信息增益的表达式：

其中\(H(D)\)表示当前数据集的信息熵,\(H(D\big\vert A)\)表示\(D\)在选择特征\(A\)的情况下的条件熵.

ID3算法的主要过程如下:

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• 输入:训练数据集\(D\),特征集\(A\),阈值\(\epsilon\)

• 输出:决策树\(T\)

• 若D中的所有实例属于同一类\(C_k\)，则\(T\)为单节点树，并将类\(C_k\)作为该节点的类标记，返回T

• 若\(A = \varnothing\)，则\(T\)为单节点数，并将\(D\)中实例数最大的类\(C_k\)作为该节点类标记，返回\(T\)
• 否则，逐个计算\(A\)中的各个特征对\(D\)的信息增益，选择信息增益最大的特征\(A_g\)
• 如果\(A_g\)的信息增益小于阈值\(\epsilon\)，则置\(T\)为单节点树，并将\(D\)中实例数最大的类\(C_k\)作为该节点的类标记，返回\(T\)
• 否则，对\(A_g\)的每一个可能值\(a_i\)，依\(A_g=a\_i\)将\(D\)分割为若干非空子集\(D_i\)，构建子节点，由当前节点及其子节点构成树\(T\)，返回\(T\)
• 对第\(i\)个子节点，以\(D_i\)为训练集，以\(A-\{A_g\}\)为特征集，递归的调用1-5步，得到子树\(T_i\)，返回\(T_i\)

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细节

在具体实现ID3的时候，其实并不一定要按照其递归的过程来进行的，个人觉得虽然递归过程非常通俗易懂，但是却很难调试，而且效率也很低。其实在具体实现的时候，可以利用广度遍历代替深度遍历，即使用迭代来代替递归。用迭代代替递归的好处之一就是方便在编码的时候跟踪调试程序，而且当树的层次很深时，可能直接会出现栈溢出的情况。

另外一个需要注意的问题是，不仅仅要给叶子节点设置其标记，还要给每一个非叶节点设置相应的标记，这是因为，在实际的数据中，可能会出现这样的情况:某个属性值只在测试集中出现，而没有在训练集中出现。虽然这种情况是非常少见的，但并不是没有可能，如果在预测的时候遇到这种情况，可以直接将当前非叶结点的标记作为最终的类别标记返回。

关键的节点分裂代码如下所示:

#!python
def split(self):
        if self.isLeaf == True: return None

        index = [i for i in range(self.feat_num) if self.isvisited[i] == False]
        bestFeat = -1
        bestChildren = {}
        bestinforGain = 0.0
        for i in index:
            values = set([vector[i] for vector in self.dataset])
            children = {}
            newEntropy = 0.0
            for value in values:
                subset,sublabels = self.getSubSet(i,value)
                isvisited = self.isvisited[:]
                isvisited[i] = True
                children[value] = ID3Node(subset,sublabels,isvisited)
            for key in children:
                child = children[key]
                prob = float(len(child) / self.instance_num)
                newEntropy += (prob * child.getEntropy())
            inforGain = self.entropy - newEntropy

            #inforGain = inforGain / self.entropy

            if inforGain >= bestinforGain:
                bestinforGain = inforGain
                bestFeat = i
                bestChildren = children

        self.selectFeat = bestFeat
        return bestChildren

树的非递归生长过程如下:

#!python
def train(self):
    Q = queue.Queue()
    Q.enqueue(self.root)
    while not Q.isEmpty():
        node = Q.dequeue()
        if node.isLeaf == False:
            children = node.split()
            node.children = children
            for key in children:
                Q.enqueue(children[key])

预测过程如下:

#!python
def predict(self,testdata):
        if self.isLeaf == True:
            return self.classlabel
        else:
            value = testdata[self.selectFeat]
            if value not in self.children:
                return self.classlabel
            return self.children[value].predict(testdata)

评价

从上述的分析中可以看到，其实ID3算法还是有很多的局限性的:

1. 只能处理特征值是离散值的情况
2. 使用信息增益作为节点的分裂标准，实际上并不合理，会倾向于选择取值较多的属性。
3. 并没有剪枝操作，容易发生过拟合的现象¹。
4. 无法处理缺失值

基于上述的这些缺点，C4.5算法被提出来了，它克服上述ID3算法的部分缺点。

C4.5算法

主要过程

C.45算法的整体过程是和ID3很相似的，只是在具体细节的地方有少许不同。

首先为了更加合理的分裂节点，C4.5算法中不再使用信息增益作为分裂标准，而是使用信息增益比作为分裂标准，相关概念也已经在决策树1-建模过程中说明了，此处直接给出计算公式:

其次为了解决只能处理离散值的情况，C4.5算法中增加了对连续数值的处理过程，当一个属性是离散值时，处理方式和ID3一样；当属性值是连续的时候，采用如下的步骤计算其信息增益比:

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• 输入: 连续值的属性A

• 输出: 该属性的最佳分裂点以及相应的信息增益比

• 将该节点上的A属性值进行升序排列，得到属性值序列\(\{A_1,A_2,\dots A_n\}\)

• 计算出\(n-1\)个分裂点，每一个分裂点\(B_i=A_{i+1} - A_i\)
• 遍历上述所有的分裂点\(B_i\)，每一个分裂点都将数据分成两个子集，计算每个分裂点分割之后的信息增益比
• 选择使得信息增益最大的那个\(B_k\)作为最终的分裂点，返回\(B_k\)及其相应的信息增益比。

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从上述的过程可以看出，其实对于连续值的处理，C4.5算法是进行二分处理的，在二分的前提下寻找最优的分裂点。

最后，C4.5算法中是进行后剪枝操作的，但是这部分剪枝的算法也是一个很复杂的过程，我还没能完全理解，这部分内容只能留待后补了。

评价

C4.5算法在一定程度上改进了ID3算法本身固有的一些缺点，事实上，C4.5是决策树实现算法中最常用的一种算法.

CART算

CART算法的全称是Classification And Regression Tree，从它的名字上我们就可以知道，CART不仅仅可以用来处理分类问题,还能够处理回归问题。这在决策树1-建模过程中也有所提及，决策树不仅仅可以处理分类问题，只需要将分裂标准改成该节点中所有数据的方差最小，并且把节点的标记改成当前节点中所有数据的平均值，而不是类别。

CART中采用的是Gini指数作为分裂标准,同时它也是包含后剪枝操作的

参考资料

1. Decision Tree：Analysis
2. <统计机器学习>——李航
3. 决策树-上-ID3 C4.5 CART及剪枝
4. C4.5决策树

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